Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 8.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Étape 10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 11.2

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 11.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 11.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 11.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int x^{- 2} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (- x^{- 1} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

$\frac{- 1}{x^{2}} - 4 (- x^{- 1}) + C$

Étape 13.2

Simplifiez

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Étape 13.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{2}} - 4 (- x^{- 1}) + C$

Étape 13.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 1} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 1} + C$