Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x}{- 3 x^{2}}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{- 3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x}{x^{2}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 \cdot 1 - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.3.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{1}{x}}{1}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - 1 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{- lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{- 1 - 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{- 1 - 0}{1}$

Étape 5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 - 0}{1}$

Étape 5.2.2

Divisez $- 1 - 0$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} (- 1 - 0)$

Étape 5.2.3

Soustrayez $0$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

Étape 5.2.4

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$