Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} {\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (\cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0^{+}} x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.2.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.4

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Étape 4.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Étape 4.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (0)}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos (0)}}$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{0}{1}}$

Étape 6.3

Divisez $0$ par $1$ .

$e^{- 0}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 6.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$