Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Étape 1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

Étape 1.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $6 x$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

Étape 1.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Étape 3

Laissez $u = 3 x (x + 2)$ . Alors $d u = (6 x + 6) d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 3 x (x + 2)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $3 x (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

Étape 3.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x (x + 2)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 2$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.4

Différenciez.

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Étape 3.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.4.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

Étape 3.1.4.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1.4.6.1

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$3 (x + x + 2)$

Étape 3.1.4.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$3 (2 x + 2)$

Étape 3.1.5

Simplifiez

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Étape 3.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Étape 3.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.1.5.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Étape 3.1.5.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x + 6$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Étape 4.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 6.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 6.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 6.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 6.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x (x + 2)$ .

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$