Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) e^{x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2} - 1$ et $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} (2 x) d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x)$

Étape 3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Étape 5

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $(x^{2} - 1) e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Étape 6.2

Évaluez $x e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Étape 6.3

Évaluez $e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(1 - 1) e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.3

Simplifiez

$0 e - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.4

Multipliez $0$ par $e$ .

$0 - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - (0 - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.6

Soustrayez $1$ de $0$ .

$0 - - 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 1 \cdot 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.9

Multipliez $1$ par $1$ .

$0 + 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.10

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.11

Simplifiez

$1 - 2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.12

Multipliez $e$ par $1$ .

$1 - 2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.13

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 - 2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.14

Multipliez $0$ par $1$ .

$1 - 2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.15

Additionnez $e$ et $0$ .

$1 - 2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

Étape 6.4.16

Simplifiez

$1 - 2 (e - (e - e^{0}))$

Étape 6.4.17

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

Étape 6.4.18

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 2 (e - e - - 1)$

Étape 7.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 2 (e - e + 1)$

Étape 7.1.2

Soustrayez $e$ de $e$ .

$1 - 2 (0 + 1)$

Étape 7.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 - 2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$1 - 2$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1$

Étape 8