Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{5}^{\sqrt{x}} f (t) d t = x^{2}$

Étape 1

Comme $f$ est constant par rapport à $t$ , placez $f$ en dehors de l’intégrale.

$f \int_{5}^{\sqrt{x}} t d t$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f \frac{1}{2} t^{2}]_{5}^{\sqrt{x}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$f \frac{t^{2}}{2}]_{5}^{\sqrt{x}}$

Étape 3.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Évaluez $\frac{t^{2}}{2}$ sur $\sqrt{x}$ et sur $5$ .

$f ((\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2}) - \frac{5^{2}}{2})$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Étape 3.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Étape 3.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{1}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Étape 3.2.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{x}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Étape 3.2.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{25}{2})$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{1}{2} x - \frac{25}{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{25}{2})$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f \frac{x}{2} + f (- \frac{25}{2})$

Étape 4.3

Associez $f$ et $\frac{x}{2}$ .

$\frac{f x}{2} + f (- \frac{25}{2})$

Étape 4.4

Associez $f$ et $\frac{25}{2}$ .

$\frac{f x}{2} - \frac{f \cdot 25}{2}$

Étape 4.5

Déplacez $25$ à gauche de $f$ .

$\frac{f x}{2} - \frac{25 f}{2}$