Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x^{3} - 3 x + 4}{4 x^{2} - 4} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Divisez en utilisant la division polynomiale longue.

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Étape 1.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Étape 1.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x^{2}$ .

$\frac{3 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Étape 1.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$\frac{3 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0$

$3 x$

Étape 1.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} + 0 - 3 x$

$\frac{3 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0$

$3 x$

Étape 1.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$\frac{3 x}{4}$
$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x^{3}$	-	$0$	+	$3 x$
										$0$

Étape 1.1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

						$\frac{3 x}{4}$
$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x^{3}$	-	$0$	+	$3 x$
										$0$	+	$4$

Étape 1.1.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{3 x}{4} + \frac{4}{4 x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.2.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 4$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{4}{4 (x^{2}) - 4}$

Étape 1.2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4}{4 (x^{2}) + 4 (- 1)}$

Étape 1.2.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4}{4 (x^{2} - 1)}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4}{4 (x^{2} - 1^{2})}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez.

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Étape 1.2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{4}{4 ((x + 1) (x - 1))}$

Étape 1.2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{4}{4 (x + 1) (x - 1)}$

Étape 1.2.1.4

Réduisez l’expression $\frac{4}{4 (x + 1) (x - 1)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4 (x + 1) (x - 1)}$

Étape 1.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 1.2.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Étape 1.2.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Étape 1.2.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Divisez $(A) (x - 1)$ par $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.7.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.7.4

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.7.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.2.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 1.2.7.5.2

Divisez $(B) (x + 1)$ par $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Étape 1.2.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Étape 1.2.7.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Étape 1.2.8

Déplacez $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Étape 1.3

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.3.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 1.3.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 A + B$

Étape 1.3.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Étape 1.4

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.4.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + B$ .

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Étape 1.4.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Étape 1.4.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- B$ dans chaque équation.

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Étape 1.4.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = - 1 A + B$ par $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez $- 1 (- B) + B$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Multipliez $- 1 (- B)$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Étape 1.4.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Étape 1.4.3

Résolvez $B$ dans $1 = 2 B$ .

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Étape 1.4.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Étape 1.4.3.2

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 1.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 1.4.3.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 1.4.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 1.4.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.4.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Étape 1.5

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{3 x}{4} + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{3 x}{4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 x}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 1.6.3

Déplacez $2$ à gauche de $x + 1$ .

$\frac{3 x}{4} - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 1.6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 x}{4} - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.6.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{3 x}{4} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Étape 3

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} \int x d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Étape 7

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 7.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 10

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 10.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 10.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 10.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$\frac{3 x^{2}}{8} - \frac{\ln (| u_{1} |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{8} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$