Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{3 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Étape 1.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{π - π}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.7

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2 + 0}$

Étape 3.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 3 \sin (x)}{2}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $\frac{- 3}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 3}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 3}{2} \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{- 3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3}{2}$