Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (x + 1) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x + 1$ et $d v = \sqrt{x}$ .

$(x + 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 5.2

Évaluez $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{2 \cdot 1}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (\frac{2}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.4

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.8

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.12

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 5.3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{1}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.14

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{4}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.15

Additionnez $\frac{4}{3}$ et $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.17

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.18

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Étape 5.3.19

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Étape 5.3.20

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.20.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Étape 5.3.20.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 5.3.21

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Étape 5.3.22

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Étape 5.3.23

Multipliez $0$ par $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Étape 5.3.24

Additionnez $\frac{2}{5}$ et $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Étape 5.3.25

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Étape 5.3.26

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Étape 5.3.27

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{15}$

Étape 5.3.28

Pour écrire $\frac{4}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Étape 5.3.29

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.29.1

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Étape 5.3.29.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Étape 5.3.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 5 - 4}{15}$

Étape 5.3.31

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.31.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{20 - 4}{15}$

Étape 5.3.31.2

Soustrayez $4$ de $20$ .

$\frac{16}{15}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{16}{15}$

Forme décimale :

$1.0\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{15}$

Étape 7