Calcul infinitésimal Exemples

$3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x d x + \int 8 x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x d x + \int 8 x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Étape 7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 \int x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 5 x^{2} d x$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 5 x^{2} d x$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 5 x^{2} d x$

Étape 11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 5 \int x^{2} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 5 (\frac{x^{3}}{3} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + 5 \frac{x^{3}}{3} + C$

Étape 13.3

Associez les fractions.

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Étape 13.3.1

Associez $5$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{5 x^{3}}{3} + C$

Étape 13.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{5}{3} x^{3} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{5}{3} x^{3} + C$