Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y}) = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \arctan (\frac{x}{y})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [\arctan (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\arctan (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Étape 2.3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}})$

Étape 2.3.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}})$

Étape 2.3.7

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ par $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Étape 2.3.8

Associez $2$ et $\frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Étape 2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Étape 2.4.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 (x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Étape 2.4.4.3

Associez $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ et $y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Étape 2.4.4.4

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 2.4.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Étape 2.4.4.4.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Étape 2.4.4.5

Pour écrire $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') \cdot \frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Étape 2.4.4.6

Associez $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ et $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Étape 2.4.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) + 2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Étape 2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.1

Développez $(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x (y^{2} + x^{2}) + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.6.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.6.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.4.6.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{2 + 1} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.2.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.6.2.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.2.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 2.4.6.2.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y^{1}) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{2 + 1} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.3

Multipliez $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ par $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ .

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Étape 2.4.6.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{3} y'$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 y y' x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y^{2}) + 2 (x^{3})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y')$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})$ .

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.4.6.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{\frac{2 ((x y^{2} + x^{3}) + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\frac{2 (x (y^{2} + x^{2}) + y y' (y^{2} + x^{2}))}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y^{2} + x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (y^{2} + x^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.5

Annulez le facteur commun à $y^{2} + x^{2}$ et $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.4.6.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.5.3

Divisez $2 (x + y y')$ par $1$ .

$\frac{2 (x + y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.7

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 y y' - 2 x y' + 2 y$ .

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Étape 2.4.6.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y' - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.7.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + y y') + 2 (- x y')$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 2.4.6.7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + y y' - x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x + y y' - x y' + y) = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.1.2.1.2

Divisez $x + y y' - x y' + y$ par $1$ .

$x + y y' - x y' + y = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x + y y' - x y' + y = 0$

Étape 5.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y y' - x y' + y = - x$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y y' - x y' = - x - y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y y' - x y'$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $y y'$ .

$y' y - x y' = - x - y$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - x - y$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - x - y$

Étape 5.2.4

Divisez chaque terme dans $y' (y - x) = - x - y$ par $y - x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (y - x) = - x - y$ par $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y - x$ .

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Étape 5.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Étape 5.2.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x - y}{y - x}$

Étape 5.2.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - y}{y - x}$

Étape 5.2.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (x) - (y)}{y - x}$

Étape 5.2.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (x + y)}{y - x}$

Étape 5.2.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.4.3.5.1

Réécrivez $- (x + y)$ comme $- 1 (x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + y)}{y - x}$

Étape 5.2.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x + y}{y - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{y - x}$