Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

Étape 1

Divisez $4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ par $t^{2} + 4$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 t^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t^{2}$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 t^{3} + 0 + 16 t$

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

Étape 1.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- t^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t^{2}$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- t^{2} + 0 - 4$

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

Étape 1.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Remettez dans l’ordre $t^{2}$ et $4$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

Étape 8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{t}{2})$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

Étape 10.2

Simplifiez

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Associez $4$ et $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ .

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \arctan (\frac{t}{2})$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

Étape 10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Étape 10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

Étape 10.3.2.2.4

Divisez $2 \arctan (\frac{t}{2})$ par $1$ .

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

Étape 10.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$