Calcul infinitésimal Exemples

$\arccos (x)$

Étape 1

Écrivez $\arccos (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \arccos (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \arccos (x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arccos (x)$ et $d v = 1$ .

$\arccos (x) x - \int x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Étape 5

Associez $x$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arccos (x) x - \int - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arccos (x) x - - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\arccos (x) x + 1 \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Étape 7.2

Multipliez $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ par $1$ .

$\arccos (x) x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Étape 8

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 8.1.2

Différenciez.

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Étape 8.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 8.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 8.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 8.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 8.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\arccos (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arccos (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (x) x + \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 9.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\arccos (x) x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arccos (x) x - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\arccos (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 12

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 12.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 12.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 12.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 12.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 12.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 12.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 14

Réécrivez $\arccos (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\arccos (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\arccos (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$\arccos (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \arccos (x)$ .

$F (x) =$ $\arccos (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$