Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

Étape 4.2.2.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 6

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$