Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x \tan (5 x^{2} - 3) d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x \tan (5 x^{2} - 3) d x$

Étape 2

Laissez $u = 5 x^{2} - 3$ . Alors $d u = 10 x d x$ , donc $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 5 x^{2} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $5 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$10 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \tan (u) \frac{1}{10} d u$

Étape 3

Associez $\tan (u)$ et $\frac{1}{10}$ .

$3 \int \frac{\tan (u)}{10} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{10} \int \tan (u) d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{10}$ et $3$ .

$\frac{3}{10} \int \tan (u) d u$

Étape 6

L’intégrale de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{3}{10} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{3}{10} \ln (| \sec (u) |) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2} - 3$ .

$\frac{3}{10} \ln (| \sec (5 x^{2} - 3) |) + C$