Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{n} {(3 i - 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(3 i - 1)}^{2}$ comme $(3 i - 1) (3 i - 1)$ .

$(3 i - 1) (3 i - 1)$

Étape 1.2

Développez $(3 i - 1) (3 i - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 i (3 i - 1) - 1 (3 i - 1)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i - 1)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $i$ par $i$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $i$ .

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $i$ par $i$ .

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 i^{2} + 3 i \cdot - 1 - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 i^{2} - 3 i - 1 (3 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 i^{2} - 3 i - 3 i - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$9 i^{2} - 3 i - 3 i + 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $3 i$ de $- 3 i$ .

$9 i^{2} - 6 i + 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{n} 9 i^{2} - 6 i + 1$

Étape 2

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(9 i^{2} - 6 i + 1) (n)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(9 \cdot - 1 - 6 i + 1) n$

Étape 4.1.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$(- 9 - 6 i + 1) n$

Étape 4.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$(- 8 - 6 i) n$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 8 n - 6 i n$