Calcul infinitésimal Exemples

$3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

Étape 1

Écrivez $3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$ comme une fonction.

$f (x) = 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int \sqrt[3]{x} d x$

Étape 9

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

Simplifiez

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $3$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 11.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{4}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.6

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $4$ .

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Étape 11.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3)}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$