Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4}{{(x^{3} + 9)}^{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{{(x^{3} + 9)}^{5}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{5}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{5}}]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{5}}$ comme ${({(x^{3} + 9)}^{5})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x^{3} + 9)}^{5})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{3} + 9)}^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 9)}^{5 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 9)}^{- 5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 5}$ et $g (x) = x^{3} + 9$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + 9$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 5$ .

$4 (- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 9$ .

$4 (- 5 {(x^{3} + 9)}^{- 6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$- 20 ({(x^{3} + 9)}^{- 6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (3 x^{2} + 0)$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (3 x^{2})$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$- 60 {(x^{3} + 9)}^{- 6} x^{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 60 \frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{6}} x^{2}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 60$ et $\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$ .

$\frac{- 60}{{(x^{3} + 9)}^{6}} x^{2}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{60}{{(x^{3} + 9)}^{6}} x^{2}$

Étape 4.2.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{60}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 60}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$

Étape 4.2.4

Déplacez $60$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{60 x^{2}}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$