Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} (x - 2) (x + 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4} (x - 2)$ et $g (x) = x + 3$ .

$x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Étape 1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x - 2$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 1.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Étape 1.4.6

Déplacez $4$ à gauche de $x - 2$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot (x - 2) x^{3})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8

Associez des termes.

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Étape 1.5.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.8.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 1.5.8.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.1.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{4}$ .

$x^{5} - 2 \cdot x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.3

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.8.3.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.5.8.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1} x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.8.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.5.8.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x^{1})) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x^{1} x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.7

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.8

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.8.8.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.8.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.5.8.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x^{1})) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.8.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.9

Multipliez $4$ par $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.10

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x^{1} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.13

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Étape 1.5.8.14

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Étape 1.5.8.15

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 1.5.8.16

Soustrayez $8 x^{4}$ de $12 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 1.5.8.17

Additionnez $x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 1.5.8.18

Additionnez $3 x^{4}$ et $4 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 1.5.8.19

Additionnez $x^{5}$ et $5 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 1.5.8.20

Additionnez $- 2 x^{4}$ et $7 x^{4}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 (3 x^{2})$

Étape 2.4.3

Multipliez $3$ par $- 24$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 72 x^{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Étape 4.1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 4.1.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 4.1.4.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 4.1.4.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 4.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Étape 4.1.4.6

Déplacez $4$ à gauche de $x - 2$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot ((x - 2) x^{3}))$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8

Associez des termes.

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Étape 4.1.5.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 4.1.5.8.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.1.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$f' (x) = x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.3

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 4.1.5.8.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x \cdot x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.7

Additionnez $1$ et $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.8

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.8.8.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.8.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 4.1.5.8.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.8.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.9

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.10

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x \cdot x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.13

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Étape 4.1.5.8.14

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Étape 4.1.5.8.15

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 4.1.5.8.16

Soustrayez $8 x^{4}$ de $12 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 4.1.5.8.17

Additionnez $x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 4.1.5.8.18

Additionnez $3 x^{4}$ et $4 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 4.1.5.8.19

Additionnez $x^{5}$ et $5 x^{5}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 4.1.5.8.20

Additionnez $- 2 x^{4}$ et $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $6 x^{5}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $5 x^{4}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) - 24 x^{3} = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 24 x^{3}$ .

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x)$ .

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24$ .

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $6 x^{2} + 5 x - 24$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $6 x^{2} + 5 x - 24$ égal à $0$ .

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 6$ , $b = 5$ et $c = - 24$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 24)}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 6 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 24$ .

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Étape 5.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 24$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 576}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.2.3.1.3

Additionnez $25$ et $576$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{2 \cdot 6}$

Étape 5.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{12}$

Étape 5.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$30 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$30 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.2

Multipliez $30$ par $0$ .

$0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 20 \cdot 0 - 72 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.4

Multipliez $20$ par $0$ .

$0 + 0 - 72 {(0)}^{2}$

Étape 9.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 72 \cdot 0$

Étape 9.1.6

Multipliez $- 72$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0) \cup (0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 5$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12})$ dans la dérivée première $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{5} + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $5$ .

$f' (- 5) = 6 \cdot - 3125 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $6$ par $- 3125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 \cdot 625 - 24 {(- 5)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $5$ par $625$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 {(- 5)}^{3}$

Étape 10.2.2.1.5

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 \cdot - 125$

Étape 10.2.2.1.6

Multipliez $- 24$ par $- 125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 + 3000$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.2.2.1

Additionnez $- 18750$ et $3125$ .

$f' (- 5) = - 15625 + 3000$

Étape 10.2.2.2.2

Additionnez $- 15625$ et $3000$ .

$f' (- 5) = - 12625$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 12625$ .

$- 12625$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 1$ , de l’intervalle $(- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0)$ dans la dérivée première $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f' (- 1) = 6 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(- 1)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 {(- 1)}^{3}$

Étape 10.3.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 \cdot - 1$

Étape 10.3.2.1.6

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 + 24$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.2.1

Additionnez $- 6$ et $5$ .

$f' (- 1) = - 1 + 24$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $24$ .

$f' (- 1) = 23$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $23$ .

$23$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12})$ dans la dérivée première $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 6 {(1)}^{5} + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(1)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24 {(1)}^{3}$

Étape 10.4.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 + 5 - 24 \cdot 1$

Étape 10.4.2.1.6

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24$

Étape 10.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.4.2.2.1

Additionnez $6$ et $5$ .

$f' (1) = 11 - 24$

Étape 10.4.2.2.2

Soustrayez $24$ de $11$ .

$f' (1) = - 13$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- 13$ .

$- 13$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$ dans la dérivée première $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Étape 10.5.2.1.2

Multipliez $6$ par $1024$ .

$f' (4) = 6144 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 6144 + 5 \cdot 256 - 24 {(4)}^{3}$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $5$ par $256$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 {(4)}^{3}$

Étape 10.5.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 \cdot 64$

Étape 10.5.2.1.6

Multipliez $- 24$ par $64$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 1536$

Étape 10.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.5.2.2.1

Additionnez $6144$ et $1280$ .

$f' (4) = 7424 - 1536$

Étape 10.5.2.2.2

Soustrayez $1536$ de $7424$ .

$f' (4) = 5888$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $5888$ .

$5888$

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ , $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ est un minimum local.

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ est un minimum local

Étape 10.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 10.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ , $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ est un minimum local.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ est un minimum local

Étape 10.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} (x - 2) (x + 3)$ .

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ est un minimum local

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ est un minimum local

Étape 11