Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt{g (2 x)}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{g (2 x)}$ comme ${g (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{g (2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{{g (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({g (2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({g (2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${({g (2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{g (2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{g (2 x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{g (2 x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = g (2 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $g (2 x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $g (2 x)$ .

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {g (2 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 8

Associez ${g (2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{g (2 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 9

Placez ${g (2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {g (2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [g (2 x)]$

Étape 10

Associez $- \frac{1}{2 {g (2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ et $\frac{d}{d x} [g (2 x)]$ .

$- \frac{\frac{d}{d x} [g (2 x)]}{2 {g (2 x)}^{\frac{3}{2}}}$