Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x}$ , $(4, 2)$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 10.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 10.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 10.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 10.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{1 + 1}}$

Étape 10.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Étape 10.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4}$