Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{x}{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int x d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

Étape 7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - x^{4} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int x^{4} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{4} - x^{4} - (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - x^{4} - \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} x^{2} - x^{4} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - x^{4} - \frac{1}{5} x^{5} + C$