Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez $\frac{- 3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 1.1.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.4

Divisez $- x^{2}$ par $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - x^{2} + 2 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x + 2 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 x + 2$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x + 2$ .

$- 2 x + 2$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x + 2 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 x + 2 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 2$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $- 2$ par $- 2$ .

$x = 1$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 1)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - 2 \cdot 4 + 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (4) = - 8 + 2$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 8$ et $2$ .

$f'' (4) = - 6$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7