Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 5$ et $g (x) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$(x^{2} + 5) (3 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$(x^{2} + 5) \cdot 3 + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.2.9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + 0)$

Étape 3.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x)$

Étape 3.2.10.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) + 2 \cdot (3 x + 1) x$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x + 1) x$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Étape 3.3.4

Associez des termes.

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$3 x^{2} + 15 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x \cdot x + 2 \cdot 1 x$

Étape 3.3.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x$

Étape 3.3.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x$

Étape 3.3.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x$

Étape 3.3.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 \cdot 1 x$

Étape 3.3.4.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 x$

Étape 3.3.4.8

Additionnez $3 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 15 + 2 x$

Étape 3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 x^{2} + 2 x + 15$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 9 x^{2} + 2 x + 15$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 2 x + 15$