Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.3

Comme $100 e$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 e$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{4}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.4.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 1.5

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Associez des termes.

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Étape 1.6.1.1

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

Étape 1.6.1.2

Additionnez $e^{x} + 32 x^{3}$ et $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3}$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 32 x^{3} + e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $32 x^{3} + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $32$ .

$96 x^{2} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 96 x^{2} + e^{x}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $96 x^{2} + e^{x}$ .

$96 x^{2} + e^{x}$