Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} - \cos (5 x)$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1} - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 2.4

Divisez $2 \cos (2 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Étape 3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Étape 3.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) - \cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) - \cos (5 \cdot 0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (5 \cdot 0)$

Étape 5.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (5 \cdot 0)$

Étape 5.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - \cos (5 \cdot 0)$

Étape 5.1.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$2 - \cos (0)$

Étape 5.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1$