Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + 1 {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 1.2

Multipliez ${(4 x - 1)}^{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(4 x - 1)}^{2} + {(4 x - 1)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3.5

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3.6

Déplacez l’exposant $2$ de ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3.8

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3.9

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.9.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 3.10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 5.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Déplacez l’exposant $3$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 7.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 7.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{3}}$

Étape 7.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\frac{\infty \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\infty \cdot {(4 - 0)}^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $0$ de $4$ .

$\frac{\infty \cdot 4^{2} + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.1.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\infty \cdot 16 + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.1.5

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\frac{\infty + {(4 \cdot 1 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\infty + {(4 - 0)}^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.1.7

Soustrayez $0$ de $4$ .

$\frac{\infty + 4^{2}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.1.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\infty + 16}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.1.9

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\infty}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{\infty}{{(2 + 0)}^{3}}$

Étape 9.2.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\infty}{2^{3}}$

Étape 9.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\infty}{8}$

Étape 9.3

L’infini divisé par toute valeur finie et non nulle est l’infini.

$\infty$