Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)} d x$

Étape 4

Laissez $u = 12 + \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 12 + \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $12 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [12 + \cos (x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.1.2.2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Étape 4.1.4

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 5

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $12 + \cos (x)$ .

$- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\sin (x)}{12 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 12 + \cos (x) |) + C$