Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \sqrt{x} d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Étape 1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Étape 1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \frac{4}{x^{3}} - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 5 x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

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$\frac{- 2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 5 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 9.2.3

Associez $- 5$ et $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Étape 9.2.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 9.2.5

Factorisez $5$ à partir de $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Étape 9.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 (1)} + C$

Étape 9.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{5 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

Étape 9.2.6.4

Divisez $- 2 x^{\frac{5}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} - 2 x^{\frac{5}{2}} + C$