Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(3 i - 2)}^{2}$ comme $(3 i - 2) (3 i - 2)$ .

$(3 i - 2) (3 i - 2)$

Étape 1.2

Développez $(3 i - 2) (3 i - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 i (3 i - 2) - 2 (3 i - 2)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i - 2)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 i (3 i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 3 i \cdot i + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $i$ par $i$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $i$ .

$3 \cdot 3 (i \cdot i) + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $i$ par $i$ .

$3 \cdot 3 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 i^{2} + 3 i \cdot - 2 - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$9 i^{2} - 6 i - 2 (3 i) - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$9 i^{2} - 6 i - 6 i - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$9 i^{2} - 6 i - 6 i + 4$

Étape 1.3.2

Soustrayez $6 i$ de $- 6 i$ .

$9 i^{2} - 12 i + 4$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{7} 9 i^{2} - 12 i + 4 = 9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} - 12 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} 4$

Étape 3

Évaluez $9 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(9) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$9 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$9 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$9 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $14$ et $1$ .

$9 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $56$ par $15$ .

$9 (\frac{840}{6})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 (3) \frac{840}{6}$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 3 \frac{840}{3 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{840}{2})$

Étape 3.3.2.3

Associez $3$ et $\frac{840}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 840}{2}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $3$ par $840$ .

$\frac{2520}{2}$

Étape 3.3.2.4.2

Divisez $2520$ par $2$ .

$1260$

Étape 4

Évaluez $12 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 12) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$- 12 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $7$ par $8$ .

$- 12 (\frac{56}{2})$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{56}{2}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 6 \frac{56}{2}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 \cdot 56$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 6$ par $56$ .

$- 336$

Étape 5

Évaluez $\sum_{i = 1}^{7} 4$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(4) (7)$

Étape 5.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$28$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$1260 - 336 + 28$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $336$ de $1260$ .

$924 + 28$

Étape 7.2

Additionnez $924$ et $28$ .

$952$