Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 5}^{5} {(k + 1)}^{2} (k - 3)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(k + 1)}^{2}$ comme $(k + 1) (k + 1)$ .

$(k + 1) (k + 1) (k - 3)$

Étape 1.2

Développez $(k + 1) (k + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(k (k + 1) + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (k - 3)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$(k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $k$ par $1$ .

$(k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (k - 3)$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$(k^{2} + k + k + 1) (k - 3)$

Étape 1.3.2

Additionnez $k$ et $k$ .

$(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$

Étape 1.4

Développez $(k^{2} + 2 k + 1) (k - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$k^{2} k + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Étape 1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1

Multipliez $k^{2}$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $k^{2}$ par $k$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Étape 1.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Étape 1.5.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot - 3 + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Étape 1.5.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $k^{2}$ .

$k^{3} - 3 \cdot k^{2} + 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Étape 1.5.3

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.3.1

Déplacez $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Étape 1.5.3.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 + 1 k + 1 \cdot - 3$

Étape 1.5.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + 1 k + 1 \cdot - 3$

Étape 1.5.5

Multipliez $k$ par $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k + 1 \cdot - 3$

Étape 1.5.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$k^{3} - 3 k^{2} + 2 k^{2} - 6 k + k - 3$

Étape 1.6

Additionnez $- 3 k^{2}$ et $2 k^{2}$ .

$k^{3} - k^{2} - 6 k + k - 3$

Étape 1.7

Additionnez $- 6 k$ et $k$ .

$k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Étape 1.8

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 5}^{5} k^{3} - k^{2} - 5 k - 3$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$5^{3} - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 - 5^{2} - 5 \cdot 5 - 3$

Étape 3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$125 - 1 \cdot 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$125 - 25 - 5 \cdot 5 - 3$

Étape 3.4

Soustrayez $25$ de $125$ .

$100 - 5 \cdot 5 - 3$

Étape 3.5

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$100 - 25 - 3$

Étape 3.6

Soustrayez $25$ de $100$ .

$75 - 3$

Étape 3.7

Soustrayez $3$ de $75$ .

$72$