Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ at $x = - 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 2$ .

$y = 3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2)$

Étape 1.2

Simplifiez $3 {(- 2)}^{2} + 4 (- 2)$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = 3 \cdot 4 + 4 (- 2)$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$y = 12 + 4 (- 2)$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$y = 12 - 8$

Étape 1.2.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$y = 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$6 x + 4$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$6 (- 2) + 4$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$- 12 + 4$

Étape 2.5.2

Additionnez $- 12$ et $4$ .

$- 8$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 8$ et un point donné, tel que $(- 2, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (- 2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 8 \cdot (x + 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 - 8 \cdot (x + 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = - 8 x - 8 \cdot 2$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$y - 4 = - 8 x - 16$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 8 x - 16 + 4$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 16$ et $4$ .

$y = - 8 x - 12$

Étape 4