Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 5 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.6.3

Placez ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 + 0)$

Étape 3.12

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 5$

Étape 3.12.2

Associez $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $5$ .

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$