Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x) d x$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ par $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Étape 8

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Étape 10

Simplifiez en multipliant.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 10.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 10.2

Développez $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Étape 10.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 10.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 10.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 10.2.4

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 10.2.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 10.2.6

Multipliez $\cos (u_{1})$ par $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 10.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 10.2.8

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 10.2.9

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 10.2.10

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Étape 10.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Étape 10.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 10.2.13

Soustrayez $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 10.2.14

Soustrayez $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 14

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 15

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 16

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 17

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 18

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 18.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 18.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 18.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 18.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 18.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 18.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Étape 19

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Étape 20

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 21

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Étape 22

Simplifiez

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Étape 22.1

Simplifiez

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 22.2

Simplifiez

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Étape 22.2.1

Pour écrire $u_{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 22.2.2

Associez $u_{1}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 22.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 22.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 22.2.5

Soustrayez $u_{1}$ de $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 23

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 23.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Étape 23.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Étape 23.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 24.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Étape 24.1.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Étape 24.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Étape 24.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Étape 24.3

Associez $\frac{1}{8}$ et $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Étape 24.4

Multipliez $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4})$ .

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Étape 24.4.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Étape 24.4.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

Étape 25

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

Étape 26

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$