Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 6 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 1 + 3^{1}$

Étape 2.5.1.5

Évaluez l’exposant.

$u_{upper} = 1 + 3$

Étape 2.5.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$6 \int_{1}^{4} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Étape 7

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Étape 8.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 8.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Étape 8.2.9

Soustrayez $2$ de $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Étape 8.2.10

Associez $3$ et $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Étape 8.2.11

Multipliez $3$ par $14$ .

$\frac{42}{3}$

Étape 8.2.12

Annulez le facteur commun à $42$ et $3$ .

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Étape 8.2.12.1

Factorisez $3$ à partir de $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Étape 8.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Étape 8.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Étape 8.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14}{1}$

Étape 8.2.12.2.4

Divisez $14$ par $1$ .

$14$

Étape 9