Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{4} + 2}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{4} + 2}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{4} + 2}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{4} + 2}{x^{2}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{4} + 2) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} + 2) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (x^{4} + 2) x^{- 2} d x$

Étape 5

Multipliez $(x^{4} + 2) x^{- 2}$ .

$\int x^{4} x^{- 2} + 2 x^{- 2} d x$

Étape 6

Multipliez $x^{4}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 - 2} + 2 x^{- 2} d x$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\int x^{2} + 2 x^{- 2} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int 2 x^{- 2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x^{- 2} d x$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 (- x^{- 1}) + C$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{- 1} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{4} + 2}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{- 1} + C$