Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{x} (1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3}) d t$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{x} 1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3} d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{x} d t + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$t]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Étape 10

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 \int_{0}^{x} t^{3} d t$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x})$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Évaluez $t$ sur $x$ et sur $0$ .

$(x) + 0 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Étape 12.2.2

Évaluez $\frac{t^{2}}{2}$ sur $x$ et sur $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Étape 12.2.3

Évaluez $\frac{t^{3}}{3}$ sur $x$ et sur $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Étape 12.2.4

Évaluez $\frac{t^{4}}{4}$ sur $x$ et sur $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5

Simplifiez

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Étape 12.2.5.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 12.2.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.5

Additionnez $\frac{x^{2}}{2}$ et $0$ .

$x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.6

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.5.7.1

Annulez le facteur commun.

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.7.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 12.2.5.9.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.11

Additionnez $\frac{x^{3}}{3}$ et $0$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.12

Associez $3$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.5.13.1

Annulez le facteur commun.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.13.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 12.2.5.14

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{4})$

Étape 12.2.5.15

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 12.2.5.15.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Étape 12.2.5.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 12.2.5.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 12.2.5.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{1})$

Étape 12.2.5.15.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - 0)$

Étape 12.2.5.16

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} + 0)$

Étape 12.2.5.17

Additionnez $\frac{x^{4}}{4}$ et $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 \frac{x^{4}}{4}$

Étape 12.2.5.18

Associez $4$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Étape 12.2.5.19

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.2.5.19.1

Annulez le facteur commun.

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Étape 12.2.5.19.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$