Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)$

Étape 1.1.1.2.12

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)$

Étape 1.1.1.2.13

Multipliez $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ par $1$ .

$1 + 3 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.1.1.2.14

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.15

Associez $3$ et $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.16

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.2.17

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 1.1.2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ comme ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.2.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.1.2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.1.2.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.7

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.2.2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.7.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 1.1.2.2.7.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.7.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.11.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Étape 1.1.2.2.13

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Étape 1.1.2.2.14

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Étape 1.1.2.2.15

Multipliez $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ par $1$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.1.2.2.16

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.2.2.17

Associez $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.2.2.18

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.1.2.2.19

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.2.19.1

Déplacez ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2}{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 1.1.2.2.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.2.2.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Étape 1.1.2.2.19.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.1.2.3

Soustrayez $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$x + 3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}$

Étape 2.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$x + 3 \sqrt[3]{x - 1}$

Étape 2.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Le graphe est concave vers le bas car la dérivée seconde est négative.

Le graphe est concave vers le bas

Étape 4