Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} + 1} d x$

Étape 4

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{4})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{4})}^{1} + 1} d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = x^{4}$ . Alors $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{u_{1} + 1}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

Étape 6.3

Déplacez $4$ à gauche de $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Étape 8

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 8.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$