Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(x - 5)}^{2} e^{x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = {(x - 5)}^{2}$ et $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x - 10) d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = 2 x - 10$ et $d v = e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int e^{x} \cdot 2 d x)$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - \int 2 e^{x} d x)$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - (2 \int e^{x} d x))$

Étape 5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 \int e^{x} d x)$

Étape 6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 (e^{x} + C))$ comme $(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$ .

$(x - 5) (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

${(x - 5)}^{1} (x - 5) e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Étape 7.2.2

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

${(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Étape 7.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 5)}^{1 + 1} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Étape 7.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x} - 2 e^{x}) + C$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x - 5)}^{2} e^{x} - ((2 x - 10) e^{x}) - (- 2 e^{x}) + C$

Étape 7.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x} + C$

Étape 7.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- (2 x - 10) e^{x} + 2 e^{x}$ .

${(x - 5)}^{2} e^{x} - e^{x} (2 x - 10) + 2 e^{x} + C$