Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + \frac{1 - \cos (x)}{x} + \frac{\tan (x)}{x}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Étape 1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Étape 2

Comme $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ et $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , appliquez le théorème des gendarmes.

$2 (\frac{1}{1}) + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Étape 3

Comme $0 \leq \frac{1 - \cos (x)}{x} \leq \frac{x}{2}$ et $lim_{x \to 0} 0 = lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$ , appliquez le théorème des gendarmes.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Étape 4.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Étape 4.4

Divisez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Étape 5.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 7.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Étape 7.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 1 + 0 + \sec^{2} (0)$

Étape 7.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 0 + \sec^{2} (0)$

Étape 7.1.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 + 0 + 1^{2}$

Étape 7.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + 0 + 1$

Étape 7.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2 + 1$

Étape 7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3$