Calcul infinitésimal Exemples

$y = 7 x^{3} - 5 x^{2} + x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{3} - 5 x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $7$ .

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 21 x^{2} - 10 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $21 x^{2} - 10 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21 x^{2}$ par rapport à $x$ est $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $21$ .

$42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$42 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$42 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$42 x - 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$42 x - 10 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $42 x - 10$ et $0$ .

$f'' (x) = 42 x - 10$