Calcul infinitésimal Exemples

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 7 x + e^{4 x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 7 x d x + \int e^{4 x} d x$

Étape 3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int x d x + \int e^{4 x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{4 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 5.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$7 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$