Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 16} \frac{\sqrt[4]{x^{7}} - 128}{x - 16}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 16} \sqrt[4]{x^{7}} - 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $16$ .

$\frac{lim_{x \to 16} \sqrt[4]{x^{7}} - lim_{x \to 16} 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[4]{lim_{x \to 16} x^{7}} - lim_{x \to 16} 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $7$ de $x^{7}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 16} x)}^{7}} - lim_{x \to 16} 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $128$ qui est constante lorsque $x$ approche de $16$ .

$\frac{\sqrt[4]{{(lim_{x \to 16} x)}^{7}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $16$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[4]{16^{7}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $16$ à la puissance $7$ .

$\frac{\sqrt[4]{268435456} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez $268435456$ comme $128^{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{128^{4}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $128$ de $128$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 16} x - 16}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 16} x - lim_{x \to 16} 16}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 16} x - 1 \cdot 16}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $16$ pour $x$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 16} \frac{\sqrt[4]{x^{7}} - 128}{x - 16} = lim_{x \to 16} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[4]{x^{7}} - 128$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{x^{7}}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{7}}$ comme $x^{\frac{7}{4}}$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{4}$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.3.6.2

Soustrayez $4$ de $7$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 128$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.5.2

Associez $\frac{7}{4}$ et $x^{\frac{3}{4}}$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x - 16]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{1 + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 16} \frac{\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 16} \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ par $1$ .

$lim_{x \to 16} \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{7}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{7}{4} lim_{x \to 16} x^{\frac{3}{4}}$

Étape 2.2

Déplacez l’exposant $\frac{3}{4}$ de $x^{\frac{3}{4}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{7}{4} {(lim_{x \to 16} x)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $16$ pour $x$ .

$\frac{7}{4} \cdot 16^{\frac{3}{4}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{7}{4} \cdot {(2^{4})}^{\frac{3}{4}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{4} \cdot 2^{4 (\frac{3}{4})}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{4} \cdot 2^{3}$

Étape 4.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{7}{4} \cdot 8$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{7}{4} \cdot (4 (2))$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{4} \cdot (4 \cdot 2)$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$7 \cdot 2$

Étape 4.6

Multipliez $7$ par $2$ .

$14$