Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x + x^{2})$

Étape 1

Réécrivez $x \ln (x + x^{2})$ comme $\frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x + x^{2})$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Étape 2.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de l’infini.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x + x^{2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x + x^{2}} (1 + 2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.6.2

Factorisez $x$ à partir de $x + x^{2}$ .

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Étape 2.3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x^{1} + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.6.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x \cdot 1 + x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.6.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x \cdot x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(1 + 2 x) \frac{1}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.6.3

Multipliez $1 + 2 x$ par $\frac{1}{x (1 + x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 2.3.7

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- x^{- 2}}$

Étape 2.3.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x}{x (1 + x)} (- x^{2})$

Étape 2.5

Associez $\frac{1 + 2 x}{x (1 + x)}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x^{2}}{x (1 + x)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $(1 + 2 x) x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x ((1 + 2 x) x)}{x (1 + x)}$

Étape 2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$

Étape 2.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(1 + 2 x) x}{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (1 + 2 x)}{1 + x}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} 1 + 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Étape 3.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + x}$

Étape 3.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 3.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 lim_{x \to 0^{+}} x)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{0 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{1 + 0}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $0$ par $1 + 2 \cdot 0$ .

$- \frac{0}{1 + 0}$

Étape 5.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Étape 5.3

Divisez $0$ par $1$ .

$- 0$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$