Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{11} 3 i^{2} - 8$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{11} 3 i^{2} - 8 = 3 \sum_{k = 1}^{11} i^{2} + \sum_{k = 1}^{11} - 8$

Étape 2

Évaluez $3 \sum_{k = 1}^{11} i^{2}$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(3) (\frac{11 (11 + 1) (2 \cdot 11 + 1)}{6})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $11$ et $1$ .

$3 \frac{11 \cdot 12 (2 \cdot 11 + 1)}{6}$

Étape 2.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $11$ par $12$ .

$3 \frac{132 (2 \cdot 11 + 1)}{6}$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $11$ .

$3 \frac{132 (22 + 1)}{6}$

Étape 2.3.1.3

Additionnez $22$ et $1$ .

$3 \frac{132 \cdot 23}{6}$

Étape 2.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $132$ par $23$ .

$3 (\frac{3036}{6})$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 \frac{3036}{3 (2)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{3036}{3 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3036}{2}$

Étape 2.3.2.3

Divisez $3036$ par $2$ .

$1518$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{11} - 8$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(- 8) (11)$

Étape 3.3

Multipliez $- 8$ par $11$ .

$- 88$

Étape 4

Additionnez les résultats des additions.

$1518 - 88$

Étape 5

Soustrayez $88$ de $1518$ .

$1430$