Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cot (x) \cdot \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cot (x) \cdot \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cot (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \sin (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 3.4

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x) + \sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sec^{2} (x) + 2 (\cot (x) \cos (x)) + 2 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \sec^{2} (x) + 2 \cot (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \csc^{2} (x)$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \cot (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.2

Multipliez $2 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $2$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cos (x) - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.2.2

Associez $\frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 2 \cos (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.2.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \csc^{2} (x) \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.3

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.7

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.7.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{- 2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \sec^{2} (x)$

Étape 4.4.9

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 4.4.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.12

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.6

Remettez dans l’ordre $2 \cos^{2} (x)$ et $- 2$ .

$\frac{- 2 + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.7

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{- 2 (1) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.8

Factorisez $- 2$ à partir de $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.9

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.11

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (- 2 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \sin (x)}{1} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.11.2.4

Divisez $- 2 \sin (x)$ par $1$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.12.1

Multipliez par $1$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Étape 4.12.2

Séparez les fractions.

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.12.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x)$

Étape 4.12.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sec^{2} (x)$