Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Étape 1

Évaluez $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ .

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Étape 1.1

Comme $\sin^{2} (x)$ est constant par rapport à $θ$ , placez $\sin^{2} (x)$ en dehors de l’intégrale.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Étape 1.2

Laissez $u = \sin (θ)$ . Alors $d u = \cos (θ) d θ$ , donc $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.2.1

Laissez $u = \sin (θ)$ . Déterminez $\frac{d u}{d θ}$ .

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Étape 1.2.1.1

Différenciez $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Étape 1.2.2

Remplacez la limite inférieure pour $θ$ dans $u = \sin (θ)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.2.4

Remplacez la limite supérieure pour $θ$ dans $u = \sin (θ)$ .

$u_{upper} = \sin (2 π)$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Étape 1.2.5.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

Étape 1.3

Développez $u (\sin (x) - u)$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

Étape 1.3.2

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

Étape 1.3.3

Factorisez le signe négatif.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

Étape 1.3.4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

Étape 1.3.5

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

Étape 1.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

Étape 1.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

Étape 1.3.8

Remettez dans l’ordre $u \sin (x)$ et $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

Étape 1.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Étape 1.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Étape 1.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Étape 1.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Étape 1.8

Comme $\sin (x)$ est constant par rapport à $u$ , placez $\sin (x)$ en dehors de l’intégrale.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

Étape 1.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

Étape 1.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Étape 1.11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 1.11.1

Évaluez $\frac{u^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Étape 1.11.2

Évaluez $\frac{u^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3

Simplifiez

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Étape 1.11.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 1.11.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.11.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 1.11.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.11.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 1.11.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.11.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Étape 1.11.3.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

Étape 1.11.3.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 1.11.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

Étape 1.11.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.11.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Étape 1.11.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Étape 1.11.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

Étape 1.11.3.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

Étape 1.11.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

Étape 1.11.3.13

Additionnez $0$ et $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

Étape 1.11.3.14

Multipliez $\sin (x)$ par $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

Étape 1.11.3.15

Additionnez $0$ et $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

Étape 1.11.3.16

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $0$ .

$\int_{0}^{π} 0 d x$

Étape 2

Évaluez $\int_{0}^{π} 0 d x$ .

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Étape 2.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0]_{0}^{π}$

Étape 2.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Évaluez $0$ sur $π$ et sur $0$ .

$(0) + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$