Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{e^{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x}{e^{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Inversez l’exposant de $e^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\int x e^{- x} d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Étape 7.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Étape 8

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 8.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Étape 11

Réécrivez $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ comme $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $- x e^{- x} - e^{- x} + C$