Calcul infinitésimal Exemples

$- x y + x = - 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x y + x) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x y + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x y' + y) + 1$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$- x y' - y + 1$

Étape 3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x y' - y + 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' + 1 = y$

Étape 5.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' = y - 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- x y' = y - 1$ par $- x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x y' = y - 1$ par $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 1}{- x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 1}{- x}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 1}{- x}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 1}{- x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{- x}$

Étape 5.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x}$